一个感染者可以感染多少人？用这个公式算一下

                       
黄文政
美国约翰霍普金斯大学生物统计学博士

梁建章
携程网联合创始人

来源：人民日报人民号

一、新型冠状病毒肺炎

近日，新型冠状病毒肺炎成为社会关注的焦点。截止1月24日1时，全国确诊感染人数已经上升到830例，其中湖北占了绝大多数。迄今为止，累计死亡25例。疫情引起了社会的普遍担忧，一定程度上重现了2003年“非典”肆虐的氛围。特别是，疫情发生在春节前夕，更让人们担忧节假日期间人员的大规模流动和频繁互动会让疫情雪上加霜。

针对这一状况，我国领导人在1月20日强调，要坚决遏制疫情蔓延势头。国家卫生健康委员会也在22日晚发布《新型冠状病毒感染的肺炎防控方案（第二版）》，提出了九项控制和防治措施。而原发地武汉更是从23日10时起，采取暂时性措施，停止城市公交、地铁、轮渡和长途客运的运营，关闭机场、火车站的离汉通道，并要求市民在非必要的情况下不要离开武汉。

与此同时，在全国很多地方，公众主动减少出行，避免接触流密集人流。在地铁、商场等公共场所，佩戴口罩的比例越来越高，在北京很多公共场所，目测比例已超过80%。

那么，这种如临大敌的防控措施是否真的必要？如果必要的话，公众是否需要因此恐慌？如果不需要恐慌的话，那改变出行计划，出门佩戴口罩、回家勤洗手是否又是小题大做呢？这几天，社交媒体的一个热门话题就是如何说服父母出门佩戴口罩，并少去人多的地方。

为了回答这些问题，我们可以简单分析一下传染疾病的传播机制。比如，为何传染病有时候会突然爆发，然后又突然消减？如何用简洁明了的方法来刻画这个过程，并据此讨论各种措施对传播过程的影响，评估风险，或者利用已有的信息来了解当下的疫情，甚至预测疫情的未来变化？




各地启动

公共卫生事件Ⅰ级响应，对乘客进行体温检测。图片来源中新网

二、如何刻画疾病传染过程

简单来说，影响疾病感染过程的核心因素是，一个感染者在可传染期间平均的感染人数。可传染期从感染开始时算起，到传染性消失时结束。传染性消失可以是治愈，被隔离或者去世等原因，致使感染者不再具有传染性。我们以m表示一个感染者在传染期期间接触的总人数，以p表示该患者接触他人时把疾病传给对方的概率。那么，在整个可传染期间，这个病人平均感染的人数就是r= m*p，我们称之为感染倍乘系数。

需要指出的是，在考察感染倍乘系数r时，并不需要假设m和p是固定的。如果以T来表示某个病人传染期的时间单位数，以m(t)和p(t)，t=1，2，…，T，分别表示第t个时间区间内接触人数和传染概率，那么该病人感染的倍乘数r，就可表示为m*p在时间上的累计，即m(1)*p(1)+ m(2)*p(2)+...+m(T)*p(T)。这种表达方式只是让我们更好地理解不同因素对倍乘系数r的影响，并不意味着在分析中我们需要知道m和p的具体数值。

尽管每个病人在传染期间会感染的人数各不相同，但为了抓住传染机制的关键因素，我们不妨假设每个人的感染被乘系数是固定的；如果每人的感染系数各不相同，那么r可以被解释为个人感染系数在某种意义上的平均。以N表示初始感染人数，那么在K个传染周期之后，感染人数就变为：
<blockquote class="content-quote">
N*(1+r+r^2+…r^K) = N*(r^(K+1)-1)/(r-1)。
</blockquote>
这个公式作为传染人数的大致估算，甚至不需要假设K为整数。当然，更精确的计算需要减去重复感染人数，但因为感染人数相对于潜在被感染人群的比例不会太大，所以忽略重复感染对结果影响很小，而且这种忽略只会放大而不是夸大被感染人数。这相当于对传染规模的估算采用了保守原则。

根据上述公式，如果传染倍乘系数大于1，那么感染人数会加速增加，这对应于疾病处于爆发状态；但如小于1，那么感染人数虽然也会不断增加，但却不会无限增加，而是最终收敛于N/(1-r)。因此，遏制疾病传播最重要的措施是把传染倍乘系数控制在零界点1以下。

据此，我们可以审视和评估各种防控措施的效果。首先，隔离感染或者疑似病例，是在缩减T；减少出行次数，特别是避免出现在人流密集的场所可以减少接触人数m；而佩戴口罩和勤洗手是降低接触的传染概率p；在重点人群采取更严厉的防控措施，则是在有效地降低全社会的平均传染倍乘数。尽管我们不一定能准确知道m和p的值，但上述分析可以帮助我们使用可比的尺度来衡量和评估不同政策的成效/代价比。

我们也注意到在传染病动力学中，对疾病传染机制的研究已经非常深入，其中最为典型的SIR模型。我们这里讨论的方法应该只是这类模型的特殊情况，但因为源自对该次疫情的直观分析，过程简单明了，也许更容易被读者理解。针对疾病传染这样一个复杂过程，使用动态随机方程也许能抓住一些确定性模型所体现不了的特征，但我们这里叙述的简单的确定性模型，依然可以突出反映决定疾病传染机制的关键性因素；相应的参数具有直观的平均意义的解释，有助于我们直观分析并理解疾病传染机制。

三、目前的传染倍乘系数是多少？

疾病处于爆发初期，意味着传染倍乘系数已经超过1。根据疾病传染周期长度以及感染人数增幅，则可以大致估算传染倍乘系数。

根据当地卫健委公布的数据，武汉累计确诊病例数到2019年12月31日为27人，到2020年1月3日为44人，到1月5日为59人，到1月20日上升为258人。根据报道，目前新型冠状病毒肺炎的潜伏期平均为7天，最多为14天。假设在潜伏期结束后，病人出现症状并视为疑似病例而被立即隔离，那么平均传染期为7天。

也就是说，从2019年12月31日到2020年1月20日，一共20天时间，即20/7=2.86个传染周期，报告的累计感染病例数从27人增长到258人。使用数值方法求解方程(r^(2.86+1)-1)/(r-1)= 258/27，可以得出r = 1.692。那么这种方法是否可能低估传染倍乘系数呢？这可以从几个因素来思考。

首先，报告人数未必准确。但考虑到1月20日相比于去年年末，卫生机构对病例的重视以及检测手段的更新，都应该更容易提升患者被报告的概率，所以这段时间里，累计病例数的实际增长倍数应该不会高于报告增长倍数。在此意义上，使用报告病例增长倍数应该是高估而非低估传染倍乘系数r。

其次，上述估算中假设自去年年末以来，传染倍乘系数是固定的，但由于政策和舆论的影响，官方和市民的防护措施会随时间加强的，所以可以合理假设传染倍乘系数随时间在降低。那么，在假设倍乘系数恒定的条件下来估算，应该也是高估，而非低估当下的传染倍乘系数。

第三，感染者的传染期不止包括潜伏者，也包括症状出现后的患病期，而且在症状出现后传染的概率甚至会增大。因此，我们以7天潜伏期来代替整个传染周期，会降低20天内的感染周期数K，从而低估倍乘系数。但我们真正关心的并不是疾病爆发初期的传染倍乘系数，而是在控制以后倍乘系数的变化。由于目前感染者潜伏期过后出现症状，一般会判断为疑似病例而被隔离。因此，以潜伏期来作为传染周期长度，适合于估算在采用严格防控手段以后的感染倍乘系数。

最后，上述估算只使用了2019年12月31日和2020年1月20日的数据。实际上，使用这两个时间点之间的有效数据得出的对倍乘系数r的估值会更小一些。而在1月20日之后，我们只见到湖北省的数据，却没见到单独有关武汉的数据。再者，在1月20日之后，由于重视程度突然提升可能大幅增加感染者被报告的概率，降低之后数据与之前数据缺乏可比性。因此，使用1月20日和之前的数据虽然也会高估传染倍乘系数r，但也不至于高估太多。尽管根据保守原则，我们宁愿高估而非低估传染倍乘系数，但太过高估并不可取。

如果病例数据报告方式一直稳定，那么即使数据中存在系统偏差，报告病例数在不同时间也是可比的，所以依然可以使用病例数随时间的变化幅度来合理地估算传染倍乘系数。我们目前的估算只使用了两个数据点，估算结果的置信程度偏低。如果使用更多时间点的数据，可以对感染现状得到更高置信水平的估算，也可以对其趋势做出适当的推测。但遗憾的是，在这次疫情的控制方面，武汉市的应对措施大起大落，市卫健委公布甚至自相矛盾。比如，累计病例数在1月10日降为为41例，比1月5日的59例还少，而且这个41的病例数一直维持到1月15日都未予更新。这些不专业的做法人为增添了了解疫情的困难。




100nm显微镜下，2019-nCoV病毒的形态

四、为何各种防护措施是必要的？

从上述推算，我们可以清楚看到，为何各种防护措施对阻断疾病感染至关重要。假设减少出行把单位时间接触人数降低30%，再假设佩戴口罩，把每次接触感染的概率降低30%，勤洗手把感染概率再降低10%，那么这三个防护措施结合起来就可能把传染倍乘系数降到原来的44.1%。如果目前的实际倍乘系数是前面估算的1.692，那么按前面的假设，普遍采取上述防护措施就也许就可以把倍乘系数降到0.75（即1.692*0.441）以下，而低于疾病失控的临界值1。

可以说，倍乘系数在临界值1附近是一个生死攸关的状态。公众普遍采取一个很小的防护措施，很可能就会把倍乘系数从疫从临界值以上的失控状态，拉到临界值以下的可控状态。

从这个角度来看，真正决定疫情演化的，与其说是感染人数，不如说是倍乘系数能否被稳定控制在临界值1以下。理论上来说，只要倍乘系数低于临界值1，那么感染人数会收敛，而疾病传播最终也会停止。这也意味着，要控制传染病的传播，必须斩草除根。哪怕只剩下一人拥有感染性，只要社会回归常态，传染倍乘系数就可能回升到临界点以上，一个感染源就有可能再次引发疫情爆发。

此外，即使能够确定把倍乘系数控制在临界值1以下，那也不意味着防控政策就万事大吉了。姑且不说任何一个感染病例对感染者来说都是人生的不幸，就是最终感染人数也直接取决于倍乘系数的大小。根据前面的公式，如果倍乘系数r小于1，那么累计感染人数将手链于N/(1-r)，这里N是初始感染人数。

因此。如果 r =0.75，那么最终累计感染人数，就是初始感染人数的4倍。如果采取进一步措施，把r从0.75降到0.5，那么最终累计感染人数就会下降到2*N。从控制疾病的宏观视角来看，公众是否普遍减少出行，出门是否佩戴口罩这些细微的行为变化，不仅关乎疾病能否被遏制，也直接影响到多少人可以被拯救。因此，大家共同采纳这些防护措施，绝不是惊慌失措的小题大做，而是应对公共危机时群体智慧的突出体现。

五、为何没有必要恐慌？

既然目前无论是官方还是公众采取的各种防护措施都是如此重要，那么个人是否有必要诚惶诚恐呢？其实，只要病例报告的概率不随时间下降，那么根据前面的讨论，一个感染周期内报告病例数增长幅度就大致等于传染倍乘系数。为保守起见，我们假设一个感染周期是14天而非7天，那么如果报告病例数在14天内增幅低于一倍，那基本可以推测传染倍乘系数已经被控制在临界值1以内，疫情的蔓延得到遏制。

此外，由已知感染人数，以及估算的传染倍乘系数，我们可以大致推算出最终感染人数。根据这个感染人数和死亡率，可以进一步估算整个疾病感染期间的平均死亡风险。基于目前公布的数据，这个风险虽然不能掉以轻心，但确实也没有必要诚惶诚恐。

为了说明这点，我们不妨假想一个特别悲观的情形来估算相应的风险。需要强调的是，这个假想并非我们对疫情的判断，而是纯粹为了演示风险估算过程，而采用的可能夸张的设定。在此，我们假想在疫情得到遏制之前，也就是传染倍乘系数降到临界值1以前，不幸有3万人感染，再假设之后强力的措施将倍乘系数控制在0.8以下，那么最终感染的人数为12万。如果该病死亡率为5%，最终死亡人数则是6000人。

毫无疑问，6000人死亡是一个巨大的悲剧，对于不幸遭遇劫难的个人和家庭来说，更是天崩地裂。但从社会整体角度来说，这所对应的风险真的没有必要引起恐慌。实际上，中国在2018年因交通事故死亡的人数就有63194人，因此1500人死亡大概相当于1个月内的交通事故平均死亡人数。也就是说，疾病的整个感染过程给一个普通人带来的死亡风险，大致只相当于一个月里使用交通工具所带来的风险。如果一个普通人不会因为惧怕这个风险，每年选择一个月拒绝乘坐任何交通工具，那么他或她也没有必要因为新型冠状病毒的疫情而诚惶诚恐。

不过，需要特别强调的是，虽然目前看来，这次疫情带来的风险不是人们需要恐慌的理由，但这绝不是说因为感染乃至死亡的概率不大，人们就可以掉以轻心。疾病感染与交通事故之间存在一个本质上的不同。具体来说，交通事故风险的增加所具有的传递性有限；司机不系安全带，除了主要是增加自己在事故发生时的死亡概率，最多也只是增加乘客、行人或者遇撞车辆中人员的死亡风险。而如我们本文所分析，人们是否普遍佩戴口罩不只是会降低自己感染别人或者被别人感染的概率，更是在整体上决定传染倍乘系数是否能够控制在临界点以下。一旦倍乘系数跨过临界点，疾病的传染就会进入连锁反应状态而大规模爆发。

因此，采取各种防护措施既保护自己和家人，也是为社会尽一份责任。理解了这点，在疫情蔓延期间，我们就应该把减少外出、出门佩戴口罩等防护措施，视为像上车就系安全带一样的自然的行为，而非惊慌失措下的过度反应。反之，如果我们这篇文章，让读者相信感染风险不大，从而放松警惕，甚至放弃本来会一直采用的防护措施，那就完全违背了本文初衷。

当然，我们真正希望的是，读者既不会因为陷入恐慌和焦虑而影响正常生活，又能够采取在交流的情绪反映中会采取各种防护措施。我们也相信仔细阅读并理解本文的读者能够做到这点。

此外，本文只是基于私下探讨而对疾病传染过程所做一个粗略的数学描述和分析，与其说是对疫情的专业性判断，不如说是提供一个可资参考的角度。特别是由于对新型冠状病毒肺炎缺乏专业了解，也没有更详尽的数据，我们无法确保本文推断的可靠性。在这方面，我们希望读者更多依靠专业的研究和讨论。

尽管目前的疫情不容乐观，但我们相信在政府和全民的共同努力下，新型冠状病毒肺炎的疫情在全国乃至武汉一定会像2003年的“非典”一样得到完全遏制，中国社会在不久的将来就能完全恢复常态。过去的“非典”也好，这次新型冠状病毒肺炎也好，不管多么来势汹汹，只要决策到位，应对适当就能得到妥善解决，其对社会造成的创伤假以时日就能够很好地痊愈。

相比而言，无论是对个人还是民族，真正可怕的不是这种突如其来的危难，而是长时间持续的慢性痼疾。在这方面，中国面临的最为重大的挑战，就是过去七八年来我们持之以恒所强调的超低生育率危机。长远来看，这个危机对中国民众未来的福祉、中国经济和社会和中华文明的影响至少万倍乃至十万倍于新型冠状病毒肺炎的影响。我们也衷心希望并相信决策层审时度势，尽快全面放开并大力鼓励生育，力挽狂澜，扭转超低生育率趋势，确保中华民族有一个健康、富强、繁荣和光明的未来。如我们之前多次所强调的那样，我们这个时代在华夏历史上的地位将取决于我们在人口问题上的抉择。